Rabu, 20 April 2011

Sifat-sifat grafik fungsi trigonometri

Berikut adalah sifat-sifat grafik fungsi trigonometri

1. Nilai Maksimum dan minimum fungsi sinus dan kosinus berturut-turut adalah 1 dan -1.

2. Bersifat periodik. periode GF sinus dan kosinus adalah 360' sedangkan GF tangen adalah 180'.

3. Grafik fungsi sinus dan kosinus mempunyai bentuk yang sama.

Senin, 18 April 2011

Mutiara Hadits

Mutiara Hadits Imam Ja‘far as

• “Waspadalah terhadap tiga orang: pengkhianat, pelaku zalim, dan pengadu domba. Sebab, seorang yang berkhianat demi dirimu, ia akan berkhianat terhadapmu dan seorang yang berbuat zalim demi dirimu, ia akan berbuat zalim terhadapmu. Juga seorang yang mengadu domba demi dirimu, ia pun akan melakukan hal yang sama terhadapmu.”

• “Tiga manusia adalah sumber kebaikan: manusia yang mengutamakan diam (tidak banyak bicara), manusia yang tidak melakukan ancaman, dan manusia yang banyak berzikir kepada Allah.”

• “Sesungguhnya puncak keteguhan adalah tawadhu’.” Salah seorang bertanya kepada Imam, “Apakah tanda-tanda tawadhu’ itu?” Beliau menjawab, “Hendaknya kau senang pada majlis yang tidak memuliakanmu, memberi salam kepada orang yang kau jumpai, dan meninggalkan perdebatan sekalipun engkau di atas kebenaran.”

• Seorang laki-laki seringkali mendatangi Imam Ja‘far as, kemudian dia tidak pernah lagi datang. Tatkala Imam as menanyakan keadaannya, seseorang menjawab dengan nada sinis, “Dia seorang penggali sumur.” Imam as membalasnya, “Hakekat seorang lelaki ada pada akal budinya, kehormatannya ada pada agamanya, kemuliannya ada pada ketakwaannya, dan semua manusia sama-sama sebagai Bani Adam.”

• “Hati-hatilah terhadap orang yang teraniaya, karena doanya akan terangkat sampai ke langit.”

• “Ulama adalah kepercayaan para rasul. Dan bila kau temukan mereka telah percaya pada penguasa, maka curigailah ketakwaan mereka.”

• “Tiga perkara dapat mengeruhkan kehidupan: penguasa zalim, tetangga yang buruk, dan perempuan pencarut. Dan tiga perkara yang tidak akan damai dunia ini tanpanya, yaitu keamanan, keadilan, dan kemakmuran.”

Kata-kata mutiara Imam Baqir a.s.

1. Jiwa yang agung

“Kuwasiatkan lima hal kepadamu: (1) jika engkau dizalimi, jangan berbuat zalim, (2) jika mereka mengkhianatimu, janganlah engkau berkhianat, (3) jika engkau dianggap pembohong, janganlah marah, (4) jika engkau dipuji, janganlah gembira, dan (5) jika engkau dicela, kontrollah dirimu”.

2.Akibat baik dan buruk

“Alangkah mungkin orang yang tamak kepada dunia akan mendapatkannya di dunia. Akan tetapi, ketika ia mendapatkan seluruhnya, dunia itu akan menjadi bala` baginya dan ia menjadi sengsara karenanya. Dan alangkah mungkin seorang membenci urusan akhirat. Akan tetapi, ia dapat menggapainya kemudian dan ia hidup bahagia karenanya”.

3. Keutamaan terbaik dan jihad terbaik

“Tiada keutamaan seperti jihad dan tiada jihad seperti menentang hawa nafsu”.

4. Ambillah nasihat yang baik

“Ambillah nasihat baik dari orang yang mengucapkannya meskipun ia tidak mengamalkannya”.

5. Indahnya kesabaran yang disertai dengan ilmu

“(Jika sesuatu digabung dengan yang lain), tidak ada gabungan yang lebih indah dari kesabaran yang digabung dengan ilmu”.

6. Kesempurnaan yang paling sempurna

“Kesempurnaan yang paling sempurna adalah tafakkuh (mendalami) agama, sabar menghadapi musibah dan ekonomis dalam mengeluarkan biaya hidup”.

7. Tiga kriteria agung

“Tiga hal adalah kemuliaan dunia dan akhirat: memaafkan orang yang menzalimimu, menyambung tali persaudaraan terhadap orang yang memutuskannya, dan sabar ketika engkau diperlakukan sebagai orang bodoh”.

8. Kontinyu dalam berdoa

“Sesungguhnya Allah membenci seseorang yang meminta-minta kepada orang lain berkenaan dengan kebutuhannya, dan menyukai hal itu (jika ia meminta kepada)-Nya. Sesungguhnya Ia suka untuk diminta setiap yang dimiliki-Nya”.

9. Keutamaan orang alim atas ‘abid

“Seorang alim yang dapat dimanfaatkan ilmunya lebih utama dari tujuh puluh ribu ‘abid”.

10. Dua karakter orang alim

“Seorang hamba bisa dikatakan alim jika ia tidak iri kepada orang yang berada di atasnya dan tidak menghina orang yang berada di bawahnya”.

11. Tiga pahala

“Jika mulut seseorang berkata jujur, maka perilakunya akan bersih, jika niatnya baik, maka rezekinya akan ditambah, dan jika ia berbuat baik kepada keluarganya, maka umurnya akan ditambah”.

12. Tinggalkanlah kemalasan

“Janganlah malas dan suka marah, karena keduanya adalah kunci segala keburukan. Barang siapa yang malas, ia tidak akan dapat melaksanakan hak (orang lain), dan barang siapa yang suka marah, maka ia tidak akan sabar mengemban kebenaran”.

13. Penyesalan di hari kiamat

“Orang yang paling menyesal di hari kiamat adalah orang yang berbicara keadilan dan ia sendiri tidak melaksanakannya”.

14. Buah silaturahmi

“Silaturahmi dapat membersihkan amalan, memperbanyak harta, menghindarkan bala`, mempermudah hisab (di hari kiamat) dan menunda ajal tiba”.

15. Berucap ramah dengan orang lain

“Ucapkanlah kepada orang lain kata-kata terbaik yang kalian senang jika mereka mengatakan itu kepadamu”.

16. Hadiah Ilahi

“Allah akan memberikan hadiah bala` kepada hamba-Nya yang mukmin sebagaimana orang yang bepergian akan selalu membawa hadiah bagi keluarganya, dan menjaganya dari (godaan) dunia sebagaimana seorang dokter menjaga orang yang sakit”.

17. Jujur dan melaksanakan amanat

“Bersikaplah wara’, berusahalah selalu, jujurlah, dan berikanlah amanat kepada orangnya, baik ia adalah orang baik maupun orang fasik. Seandainya pembunuh Ali bin Abi Thalib a.s. menitipkan amanat kepadaku, niscaya akan kuberikan kepadanya”.

18. Perbedaan antara ghibah dan tuduhan

“Ghibah adalah engkau membicarakan aib (yang dimiliki oleh saudaramu) yang Allah telah menutupnya (sehingga tidak diketahui oleh orang lain), dan menuduh adalah engkau membicarakan aib yang tidak dimiliki olehnya”.

19. Pencela dibenci Allah

“Allah membenci pencela yang tidak memiliki harga diri”.

20. Tanda-tanda rendah hati

“(Engkau dapat dikatakan rendah hati jika) engkau rela duduk di sebuah majelis yang lebih rendah dari kedudukanmu, mengucapkan salam kepada orang yang kau jumpai, dan menghindari debat meskipun engkau benar”.

21. Menjaga harga diri adalah ibadah terbaik

“Ibadah yang terbaik adalah menjaga perut dan kemaluan”.

22. Sumber dosa adalah tidak kenal Allah

“Tidak akan bermaksiat kepada Allah orang yang mengenal-Nya”.

24. Akal adalah makhluk Allah terbaik

“Ketika Allah menciptakan akal, Ia berfirman kepadanya: “Kemarilah!” Ia pun menghadap. Ia berfirman kembali: “Mundurlah!” Ia pun mundur. Kemudian Ia berfirman: “Demi kemuliaan dan keagungan-Ku, Aku tidak pernah menciptakan makhluk yang lebih Kucintai darimu, dan Aku tidak akan menyempurnakanmu kecuali bagi orang yang Kucintai. Semua perintah, larangan, siksa dan pahala-Ku tertuju kepadamu”.

25. Hisab atas dasar akal

“Sesungguhnya Allah akan menghisab hamba-hamba-Nya pada hari kiamat sesuai dengan kadar akal yang telah dianugerahkan kepada mereka di dunia.”

26. Pahala guru dan murid

“Sesungguhnya pahala orang yang mengajarkan ilmu adalah seperti pahala orang yang belajar darinya, dan ia masih memiliki kelebihan darinya. Oleh karena itu, pelajarilah ilmu dari ahlinya dan ajarkanlah kepada saudara-saudaramu sebagaimana ulama telah mengajarkannya kepadamu”.

27. Dosa mufti yang tidak berilmu

“Barang siapa yang mengeluarkan fatwa tanpa ilmu yang cukup, maka ia akan dilaknat oleh malaikat rahmat dan azab serta dosa orang yang mengamalkan fatwanya akan dipikul olehnya”.

28. Ulama neraka

“Orang yang mencari ilmu dengan tujuan mendebat ulama (lain), mempermalukan orang-orang bodoh atau mencari perhatian manusia, maka bersiap-siaplah untuk menempati neraka. Kepemimpinan tidak berhak dimiliki kecuali oleh ahlinya”.

29. Tanda-tanda seorang faqih

“Faqih yang sebenarnya adalah orang yang zahid terhadap dunia, rindu akhirat dan berpegang teguh kepada sunnah Rasulullah SAWW”.

30. Bergurau tanpa mencela

“Sesungguhnya Allah azza wa jalla menyukai orang-orang yang suka bergurau dengan orang lain dengan syarat tanpa cela-mencela”.

31. Azab untuk tiga kriteria

“Tiga kriteria yang penyandangnya tidak akan meninggal dunia kecuali ia telah merasakan siksanya: kezaliman, memutuskan tali silaturahmi dan bersumpah bohong, yang dengan sumpah tersebut berarti ia telah berperang melawan Allah”.

32. Yang disukai Allah

“Sesuatu yang paling utama di sisi Allah adalah engkau meminta segala yang dimiliki-Nya”.

33. Kontinyu dalam doa

“Demi Allah, seorang hamba tidak berdoa kepada-Nya terus menerus kecuali Ia akan mengabulkannya”.

34. Berdoa di waktu sahar

“Sesungguhnya Allah mencintai hamba yang banyak berdoa. Oleh karena itu, berdoalah pada waktu ashar hingga matahari terbit, karena pada waktu itu pintu-pintu langit terbuka, rezeki-rezeki dibagikan dan hajat-hajat penting dikabulkan”

35. Berdoa untuk orang lain

“Doa yang paling cepat dikabulkan adalah doa seorang hamba untuk saudaranya tanpa sepengetahuannya”.

36. Mata-mata yang tidak akan menangis

“Semua mata pasti akan menangis pada hari kiamat kecuali tiga mata: mata yang bangun malam di jalan Allah, mata yang menangis karena takut kepada-Nya dan mata yang tidak pernah melihat hal-hal yang diharamkan oleh Allah”.

37. Orang yang tamak bak ulat sutra

“Perumpamaan orang yang tamak bagaikan ulat sutra. Ketika sutra yang melilitnya bertambah banyak, sangat jauh kemungkinan baginya untuk bisa keluar sehingga ia akan mati kesedihan di dalam sarangnya sendiri”.

38. Jangan berwajah dua

“Hamba yang paling celaka adalah hamba yang berwajah dan bermulut dua; ia memuji saudaranya di hadapannya dan menghibahnya di belakangnya, jika saudaranya itu dianugerahi nikmat, ia iri dan jika ia ditimpa musibah, ia menghinanya”.

Mutiara Hadis Imam Hasan al-Mujtaba as:

“Orang-orang membinasakan diri mereka sendiri jika dalam diri mereka terdapat kebiasaan buruk, sombong, tamak dan hasud.” (Biharul Anwar, vol 78, hal. 111)

Mutiara hadits Imam Kazhim a.s.

1.Hujjah lahiriah dan batiniah

“Sesungguhnya Allah memiliki dua hujjah atas manusia: hujjah lahiriah dan hujjah batiniah. Hujjah lahiriah adalah para rasul, nabi dan imam (ma’shum) dan hujjah batiniah adalah akal”.

2.Sabar dan menjauhi orang-orang yang mencintai dunia

“Sabar dalam kesendirian adalah tanda kekuatan akal. Barang siapa yang merenungkan tentang Allah, ia akan menjauhi orang-orang yang mencintai dunia dan menginginkan apa yang ada di sisi Tuhannya, Allah adalah penenangnya dalam ketakutan, temannya dalam kesendirian, kekayaannya dalam kefakiran dan kemuliaannya di hadapan selain kerabatnya”.

3.Merendahkan diri di hadapan Allah

“Barang siapa yang menginginkan kekayaan tanpa harta, terselamatkan dari sifat iri dengki dan keselamatan dalam agama, hendaknya ia merendahkan diri di hadapan Allah ketika meminta kepada-Nya (dan mintalah kepada-Nya untuk) menyempurnakan akalnya. Barang siapa yang akalnya telah sempurna, maka ia akan merasa cukup dengan rezeki yang mencukupi hidupnya. Barang siapa yang merasa cukup dengan rezeki yang mencukupi hidupnya, maka ia akan merasa kaya. Dan barang siapa yang tidak merasa cukup dengan rezeki yang mencukupi hidupnya, maka ia tidak pernah merasakan kekayaan sama sekali”.

4.Menjenguk mukmin karena Allah

“Barang siapa yang menjenguk saudara seimannya karena Allah, bukan karena selain-Nya, demi mengharap pahala-Nya dan segala yang telah dijanjikan kepadanya, maka Allah azza wa jalla akan memerintahkan tujuh puluh ribu malaikat untuk menjaganya dari sejak ia keluar dari rumah hingga ia kembali ke rumahnya seraya berkata kepadanya: ‘Engkau adalah orang baik (baca : beruntung) dan surga adalah sesuai denganmu. Engkau telah membangun rumah di sana”.

5.Harga diri, akal dan nilai seseorang

“Tidak sempurna agama orang yang tidak memiliki harga diri, dan tidak memiliki harga diri orang yang tidak berakal. Sesungguhnya orang yang paling agung nilainya adalah orang yang tidak menganggap dunia sebagai satu nilai baginya. Ingatlah, harga badanmu ini adalah surga, jangan engkau menjualnya dengan selainnya”.

6.Menjaga harga diri orang lain

“Barang siapa yang menjaga dirinya untuk tidak mempermalukan orang lain, maka Allah akan mengampuni kesalahannya pada hari kiamat, dan barang siapa yang menahan kemarahannya terhadap orang lain, maka Allah akan menahan murka-Nya terhadapnya pada hari kiamat”.

7.Faktor-faktor yang dapat mendekatkan diri dari Allah

“Sarana paling baik yang dapat digunakan untuk mendekatkan diri kepada Allah adalah shalat, berbakti kepada kedua orang tua, meninggalkan sifat dengki, sombong dan bangga diri”.

8.Orang berakal tidak akan berbohong

“Sesungguhnya orang yang berakal tidak akan berbohong meskipun hal itu tidak sesuai dengan hawa nafsunya”.

9.Hikmah diam

“Sedikit berbicara adalah sebuah hikmah yang amat besar. Oleh karena itu, hendaklah kalian banyak diam, karena banyak diam adalah satu ketenangan hidup dan satu faktor yang dapat meringankan dosa”.

10.Pencela yang tak tahu malu

“Sesungguhnya Allah telah mengharamkan surga bagi pencela yang tak tahu malu dan tidak memikirkan apa yang keluar dari mulutnya serta apa yang dikatakan orang lain kepadanya”.

11.Orang sombong tidak akan masuk surga

“Hati-hatilah terhadap sifat sombong! Karena tidak akan masuk surga orang yang di hatinya tersimpan setitik kesombongan”.

12.Program kerja siang dan malam

“Berusahalah untuk membagi waktu kalian dalam empat bagian: satu bagian untuk bermunajat kepada Allah, satu bagian untuk mencari rezeki, satu bagian untuk menjenguk para saudara seiman yang dapat dipercaya untuk memberitahukan aib-aib yang ada pada dirimu dan sahabat setiamu lahir-batin, dan satu bagian untuk menikmati kenikmatan yang kalian miliki asalkan tidak haram. Dengan menggunakan bagian keempat ini kalian akan mampu melaksanakan tiga bagian di atas”.

13.Duduk bersama dengan orang yang beragama dan berakal

“Duduk bersama orang yang beragam adalah sebuah kemuliaan dunia dan akhirat, dan bermusyawarah dengan orang berakal dan ahli nasihat adalah sebuah berkah, petunjuk dan taufik dari Allah. Jika ia menentukan sebuah solusi, maka janganlah menentangnya, karena hal itu akan mengundang kecelakaan bagimu”.

14.Akibat cinta dunia

“Barang siapa yang mencintai dunia, rasa takut kepada akhirat akan sirna dari hatinya. Barang siapa yang ilmunya bertambah kemudian kecintaannya kepada dunia juga bertambah, maka ia akan bertambah jauh dari Allah dan kemurkaan-Nya kepadanya akan bertambah”.

15.Menjauhi tamak dan hanya bertawakal kepada Allah

“Hindarilah tamak dan janganlah mengharap apa yang ada di tangan manusia serta musnahkanlah rasa tamak dari hati para makhluk, karena tamak adalah kunci kehinaan, pembasmi akal, pemusnah dan pengotor harga diri serta pembasmi ilmu. Janganlah (hanya mengandalkan) tawakal kepada Tuhanmu”.

16.Hasil amanah dan kejujuran

“Menjaga amanah dan berkata jujur dapat mendatangkan rezeki, sedangkan khianat dan berkata bohong dapat mendatangkan kefakiran dan kemunafikan”.

17.Berkata benar dan membasmi kebatilan

“Takutlah kepada Allah dan berkatalah benar meskipun engkau harus binasa, karena di dalam berkata benar itu adalah keselamatanmu. Takutlah kepada Allah dan tinggalkanlah kebatilan meskipun engkau akan selamat, karena di dalam kebatilan itu adalah kecelakaanmu”.

18.Bala` sesuai dengan kadar iman seseorang

“Seorang mukmin bak dua sayap timbangan, ketika imannya bertambah, maka bala`nya pun akan bertambah”.

19. Shalat sunnah dan mendekatkan diri kepada Allah

“Shalat sunnah adalah sarana bagi mukmin untuk mendekatkan diri kepada Allah”.

20.Keutamaan ishlah (memperbaiki keadaan) dan memaafkan

“Pada hari kiamat sebuah suara akan berteriak lantang: “Perhatian! Barang siapa yang merasa memiliki pahala di sisi Allah, hendaklah ia berdiri!” Tidak ada orang yang berani berdiri kecuali para pemaaf dan orang yang memilih semangat untuk ishlah. Pahalanya ada di sisi Allah”.

21.Sedekah terbaik

“Menolong orang yang lemah adalah sedekah terbaik”.

22.Dosa baru, bala` baru

“Ketika seseorang melakukan dosa baru yang belum pernah dilakukannya, maka Allah akan mendatangkan bala` yang tak pernah disangka-sangka baginya”.

23.Kunci pintu hati

“Perdalamilah agama Allah, karena memperdalami agama adalah kunci hati dan faktor utama untuk mencapai kedudukan yang tinggi di dalam agama dan di dunia. Dan keutamaan seorang “faqih” atas seorang abid bak keutamaan matahari atas bintang-bintang, dan barang siapa enggan mendalami agamanya, maka Allah tidak akan pernah merelai amalannya”.

24.Dunia adalah sarana terbaik

“Jadikanlah untuk dirimu bagian dari dunia selama hal itu halal, tidak merusak harga diri dan tidak melampaui batas, serta gunakanlah dunia tersebut untuk memperkokoh agama, karena diriwayatkan bahwa bukan golongan kami orang yang mengorbankan dunia demi agamanya atau mengorbankan agama demi dunianya”.

25.Ibadah terbaik

“Ibadah terbaik setelah mengetahui Allah adalah menunggu “faraj” (kemunculan Imam Mahdi a.s.)”.

26.Mencintai orang lain

“Mencintai orang lain adalah setengah iman”.

27.Menghindari kemarahan

“Barang siapa yang menahan kemarahannya terhadap orang lain, maka Allah akan menghindarkannya dari siksa api neraka”.

28.Manusia terkuat

“Barang siapa ingin menjadi manusia terkuat, hendaknya bertawakal kepada Allah”.

29.Selalu meningkat, bukan malah mundur

“Barang siapa yang dua harinya sama, maka ia telah rugi, barang siapa yang satu harinya lebih jelek, maka ia terlaknat, barang yang (kebaikannya) tidak bertambah sama sekali, maka ia berada dalam kekurangan, dan barang siapa yang berada dalam kekurangan, maka kematian lebih baik baginya”.

30.Berbuat kebajikan kepada orang lain

“Hak saudaramu yang paling vital adalah jangan kau menutupi sesuatu yang bermanfaat bagi dunia dan akhiratnya”.

31.Menghindari bergurau

“Hindarilah bergurau, karena bergurau dapat melenyapkan cahaya imanmu”.

32.Nasihat alam semesta

“Jika engkau merenungkan ciptaan (yang ada di dunia ini), niscaya engkau akan melihat nasihat di dalamnya bagimu”.

33.Yang memahami nilai kebajikan

“Barang siapa yang tidak pernah merasakan kesulitan, maka ia tidak akan pernah memahami nilai kebajikan orang lain”.
Mutiara Hadits Imam Ridha a.s

1. Tiga karakter orang mukmin

“Seseorang tidak akan menjadi mukmin yang sejati kecuali ia memiliki tiga karakter berikut ini: mengikuti sunnah Tuhannya, sunnah Nabi-Nya dan sunnah imamnya. Sunnah (kebiasaan yang dilakukan oleh) Tuhannya adalah menyimpan rahasia, sunnah Nabi-Nya adalah berbuat toleransi terhadap orang lain dan sunnah imamnya adalah sabar menanggung kesengsaraan”.

2. Pahala berbuat kebajikan secara diam-diam dan ancaman bagi
orang yang melakukan kejelekan secara terang-terangan

“Orang yang berbuat kebaikan secara diam-diam pahalanya sama dengan tujuh puluh kebaikan, orang yang melakukan kejelekan secara terang-terangan, ia akan hina dan orang yang menutupi kejelekan akan diampuni”.

3. Kebersihan

“Menjaga kebersihan adalah termasuk akhlak para nabi a.s.”

4. Orang yang dapat dipercaya

“Orang yang (pada hakikatnya) dapat dipercaya tidak akan berkhianat kepadamu, dan hanya engkaulah yang menganggap pengkhianat sebagai orang yang dapat dipercaya”.



klik di sini untuk mendownload file nya...

Senin, 11 April 2011

Dimensi Tiga

GEOMETRI DALAM RUANG DIMENSI TIGA

(Al. Krismanto, M.Sc.)

I. KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG

A. TITIK, GARIS DAN BIDANG

Titik merupakan unsur ruang yang paling sederhana, tidak didefinisikan, tetapi setiap
pembaca diharapkan dapat memahaminya. Yang dimaksud garis dalam bahasan ini adalah garis
lurus dan yang dimaksud dengan bidang adalah bidang datar. Keduanya berukuran tak terbatas.
Untuk garis tak terbatas panjangnya, sedangkan untuk bidang tak terbatas luasnya. Garis
digambar digunakan sebatas yang diperlukan, khusus pada tulisan ini tidak berujung anak panah.
Untuk menggambar sebuah bidang biasanya digunakan sebuah persegi panjang berukuran sesuai
keperluan. Namun karena kedudukannya umumnya tidak frontal (tidak sejajar atau tidak pada
bidang gambar), maka sebuah bidang datar biasa diwakili oleh sebuah jajar genjang. Untuk
menunjukkan sebuah titik tertentu, kadang-kadang digunakan sebuah noktah. Pada bangun datar
atau bangun ruang tertentu, misalnya pada sebuah kubus, meskipun bangun ruang tersebut
mempunyai 8 titik sudut sebagai titik potong tiga bidang, atau tiga rusuk, titiknya tidak biasa
diberi noktah.

B. KEDUDUKAN TITIK TERHADAP GARIS DAN BIDANG

Jika diketahui sebuah titik T dan sebuah garis g, mungkin:


T

g

g


T

a

Titik T terletak pada garis g, atau

garis g melalui titik T (Gb. 1.1 (i))

b

Titik T berada di luar g, atau

garis g tidak melalui titik T. (Gb. 1.1 (ii))

Gambar 1.1

Jika T pada g dan P pada g, maka dapat dinyatakan bahwa garis g melalui T dan P
Aksioma 1: Melalui dua buah titik dapat dibuat tepat satu garis.

2. Jika diketahui sebuah titik T dan sebuah bidang H, mungkin:

•T

H

•T

Titik T terletak pada bidang H, atau
bidang H melalui titik T (Gb. 1.2 (i)).

a

Untuk menunjukkannya dibantu dengan menggambar
sebuah garis pada bidang H (lihat C)

H

b

Titik T tidak terletak pada bidang H,

atau bidang H tidak melalui titik T(Gb. 1.2 (i)).

Gambar 1.2

C. KEDUDUKAN GARIS TERHADAP BIDANG DAN GARIS

Jika diketahui sebuah garis g dan sebuah bidang H, mungkin:
a Garis g terletak pada bidang H, atau bidang H melalui garis g
g
Sebuah garis g dikatakan terletak pada bidang H jika setiap
H
titik pada garis g terletak pada bidang H.
Gambar 1.3 (i) Untuk menunjukkannya, ujung ruas garis wakil g harus terletak
pada sisi jajar genjang wakil bidang H.
Jika ada titik T di luar g juga terletak pada bidang H, maka dapat dinyatakan pula bahwa
bidang H melalui sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu.

AlKris: Dimensi Tiga 2010

Aksioma 2: Melalui sebuah garis dan sebuah titik di luar garis tersebut dapat dibuat
tepat sebuah bidang datar.
Karena garis g tertentu jika dua ada dua titik tertentu (misal A dan b) yang dilaluinya, maka:

Aksioma 3: Melalui tiga buah titik tak segaris dapat dibuat tepat sebuah bidang datar.

g

•T

H

Gambar 1.3 (ii)

g

h

Gambar 1.3 (iii)

b

Garis g memotong bidang H, atau
garis g dan H berpotongan.
Garis g dikatakan memotong bidang H jika garis g dan
bidang H mempu-nyai hanya sebuah titik persekutuan.
Titik itu disebut titik potong atau titik tembus garis g
terhadap bidang H. Pada Gb. 1.3 (ii), T adalah titik
tembus g terhadap H.

c

Garis g sejajar bidang H (g // H), atau
bidang H sejajar garis g.
Sebuah garis g dikatakan sejajar bidang H jika garis g dan
bidang H tidak mempunyai titik persekutuan.
Untuk menunjukkannya dapat dilakukan dengan
menggambar sebuah garis pada H (misal h) sejajar garis
g. Lihat Gb. 1.3 (iii).

Jika diketahui sebuah garis g dan sebuah garis H, mungkin:

Garis g dan garis H terletak pada sebuah bidang (misal H). Jika demikian maka yang

dapat terjadi adalah:

H

Aksioma 4: Melalui dua garis berpotongan dapat dibuat tepat sebuah bidang datar.

g

h



a. g dan H berimpit. Dikatakan g = H.

b. g dan H berpotongan (pada sebuah titik). (Gb. 1.4 (i))

g

H

h

c. g ║h, yaitu jika keduanya tidak mempunyai titik

persekutuan. (Gb. 1.4 (ii))

Aksioma 4: Melalui dua garis sejajar dapat dibuat tepat sebuah bidang datar.

g

•T

h

H

d. garis g dan garis H tidak sebidang. Dikatakan bahwa garis g
dan H bersilangan (silang menyilang). Jadi keduanya tidak
sejajar dan juga tidak mempunyai titik persekutuan.

Gambar 1.4

D. HUBUNGAN ANTARA BIDANG-BIDANG

Dua bidang berimpit (semua titik pada bidang yang satu terletak pada bidang kedua, dan
sebaliknya) dipandang sebagai sebuah bidang saja.

(i)
Hubungan antara Dua Bidang
Jika diketahui bidang H dan V, maka mungkin:

Bidang H dan V sejajar
Keduanya sama sekali tidak mempunyai titik
persekutuan. (Gb. 1.5 (i))

Bidang H dan V berpotongan pada sebuah garis. Garis potong ini biasa dilambangkan
dengan (H, V). (Gb. 1.5 (ii))

V

H

AlKris: Dimensi Tiga 2010

Hubungan antara Tiga Bidang (α, β, γ)

γ

(α, β) = (α, γ) = (β, γ)

α

(iV)

(iii)

β

γ

(α, γ)

(α, β)

γ

α

(α,γ

(ii) α

(β,γ)

β

Gambar 1.6

Ketiganya sejajar: → Bidang α║β║γ (Gb. 1.6 (i))
Dua bidang sejajar, dipotong bidang ketiga: Bidang α║β dan γ ╫ α, γ ╫β ⇒(α, γ)║(β, γ)
(Gb. 1.6 (ii))
Ketiga bidang berpotongan pada satu garis. ⇒ (α, β), (α, γ), dan (β, γ) berimpit. (Gb.
1.6 (iii))
Ketiga bidang berpotongan pada tiga garis potong yang sejajar. (α, β)║(α, γ) ║(β, γ)
(Gb. 1.6 (iV))
Ketiga bidang berpotongan pada sebuah titik ⇒ ketiga garis potong (α, β), (α, γ), dan
(β, γ) melalui sebuah titik. (Gb. 1.6 (V))

E. MENENTUKAN TITIK POTONG GARIS DAN BIDANG DAN GARIS POTONG ANTARA BIDANG-

BIDANG

β

C
g B
T
h

A

Garis g dan H berpotongan di titik T. Garis H menembus α
di A dan β di B. Garis g memebus β di C. Tentukan titik
(α, β)
tembus g terhadap α.

Gambar 1.7

Jawab: Garis g dan H berpotongan. Jadi dapat dibuat sebuah bidang misal γ melalui g dan H.

C
g B
T
h

A

(α, β)

K

C dan B pada bidang γ ⎫
⎬CB = (β , γ )
C dan B pada bidang β ⎭

(β, γ) memotong (α, β) di titik K. Maka garis potong ketiga
yaitu (α, γ) juga melalui K (*).

Karena A pada H, maka pada γ. Titik A titik tembus H
terhadap bidang α, maka A pada α. Jadi A pada (α, γ). (**)

β

C
g B
T
h

A

(α, β)

K

C
g B
T
h

D

A

(α, β)

K

α

AlKris: Dimensi Tiga 2010

Menggunakan Dasar Hubungan Tiga Bidang

Contoh

Diketahui kubus ABCD.EFGH (Gb 1.8 ). Titik P, Q, dan R
berturut-turut terletak pada rusuk CG , DH dan AE . Bidang
α melalui P, Q, dan R. Gambarlah garis-garis potong:\
a. (α, ADHE)
b. (α, BCGF)

Jawab:
a.
Q pada α dan Q pada ADHE ⇒ Q pada (α, ADHE) ... (1)
R pada α dan R pada ADHE ⇒ R pada (α, ADHE) ... (2)
Dari (1) dan (2) maka QR = (α, ADHE)
a.
P pada α dan P pada BCGF ⇒ (α, BCGF) melalui titik P
... (3)
Bidang BCGF║ ADHE dipotong bidang α, maka (α, BCGF)
║ (α, ADHE) = QR ... (4)
Dari (3) dan (4) maka (α, BCGF) melalui P sejajar
QR (Gb 1.9 (i)), yaitu garis PS

Titik P adalah titik tengah rusuk TB pada limas beraturan T.ABCD. Bidang α melalui P
sejajar BD dan TA . Carilah garis-garis potong bidang α dengan sisi-sisi limas.
Jawab: α.
T

P

Bidang α melalui P//TA⎫
⎬ (α, TAB) ║ TA
P pada bidang TAB ⎭

Untuk membuat (α, TAB) dibuat PQ pada bidang TAB ║ TA

(Q pada AB ) Gb 1.10a.


⎪ (α , ABCD )

BD pada bidang ABCD⎬
melalui Q// BD
Q pada α dan ABCD ⎪



Bidang α // BD

C

N

Gb 1.10. a

Q
T

B

S

P

Garis tersebut memotong AD di R dan AC di N. (Gb 1.10. b)

Berdasar sifat kesejajarannya terhadap TA , maka:(i) pada

TAD dibuat garis melalui R sejajar TA .

TA

melalui N sejajar TA memotong TC di M.

C

Irisan adalah segi lima PQRSM (Gb 1.10. c)

memotong TD di S, (ii) pada TAC dibuat garis

N

Gb 1.10. b

Q

B

Dengan demikian maka prosedur menggambarnya sebagai

AlKris: Dimensi Tiga 2010



Pada bidang TAB ditarik garis PQ ║ TA ( Q pada AB)

Pada bidang ABCD ditarik QR ║ BD (R pada AD )

memotong AC di N.

Pada bidang TAD ditarik garis RS ║ TA (S pada TD )
Pada bidang TAC ditarik garis melalui N ║ TA
memotong TC di M.
Garis-garis potongnya adalah PQ, QR, RS, SM, dan MP

Segilima PQRSM disebut irisan bidang α terhadap limas T.ABCD.

Latihan 1

Salin dan tentukan titik tembus garis H terhadap bidang α.





A

h

C

A

h

β

A

?

B

C

?

B

α

Gambarlah garis-garis potong antara bidang ACF dan BDE
dengan bidang α dan β, dan juga antara bidang ACF dan BDE.

Limas-limas di bawah ini terletak pada bidang α. Tentukan
titik tembus garis AB terhadap bidang α.

T

A pada TPQ

A

B

B

P

R

Q

Pada kubus ABCD.EFGH, titik-titik P, Q, R dan S berturut-turut terletak pada bidang CDHG,
ADHE, BCGF, dan ABFE. Kubus tersebut diletakkan pada bidang α. Tentukanlah titik tembus

garis-garis PQ PR , PS , QR , dan QS terhadap bidang α (lihat gambar di bawah No. 5)

Pada limas T.ABCD, titik-titik P, Q, R dan S berturut-turut terletak rusuk TD , bidang TBC,
bidang TAB, dan rusuk TB . Alas limas pada pada bidang α. Tentukanlah titik tembus garis-

garis PQ PR , PS , QR , dan QS terhadap bidang α.

AlKris: Dimensi Tiga 2010

↔ ↔







↔ ↔







T

•P

•Q

E

Q

•R

D

•S

B

C

A

AlKris: Dimensi Tiga 2010

II. JARAK DAN SUDUT

A. JARAK

Definisi: Jarak antara dua buah bangun adalah panjang ruas garis penghubung terpendek
yang menghubungkan dua titik pada bangun-bangun tersebut.

A

B

G1

G2

Gambar 2.1

Jika G1 dan G2 adalah bangun-bangun geometri, maka G1
dan G2 dapat dipikirkan sebagai himpunan titik-titik,
sehingga dapat dilakukan pemasangan antara titik-titik
pada G1 dan G2.
Jika ruas garis AB adalah yang terpendek antara
semua ruas garis penghubung titik-titik itu, maka panjang
ruas garis AB disebut jarak antara bangun G1 dan G2.
Akibat dari pengertian yang demikian maka:

Jarak antara titik P dan Q adalah panjang ruas garis PQ . (Gb. 2.2 (i))

Jarak antara titik P dan garis g adalah panjang ruas garis penghubung P dengan proyeksi P
pada garis g. Pada Gb. 2.2 (ii), jarak antara titik P dan garis g = PP .
1

Jarak antara titik P pada bidang K adalah panjang ruas garis penghubung P dengan proyeksi
titik P pada bidang K. Pada Gb. 2.2 (iii), jarak antara titik P dan bidang K = PP .
1

Jarak antara garis g dan bidang K yang sejajar adalah sama dengan jarak salah satu titik
pada garis g terhadap bidang K. Pada Gb. 2.2 (iV), jarak antara g dan K dengan g ║ K adalah
PP .
1

Jarak antara bidang K dan L yang sejajar adalah sama dengan jarak salah satu titik pada
bidang K terhadap bidang L, atau sebaliknya.

Jarak antara garis g dan H yang bersilangan adalah panjang ruas garis hubung yang letaknya

tegaklurus pada g dan H (perhatikanlah cara menggambarkannya).$

P

P

Q

P2 P3 P1
(ii)

(i)

Q

K

g

P4

R

P1

(iii)

K g

B

A

C

h

g

g

B1

A1

C1

(V)

(Vi)

Gambar 2.2

AlKris: Dimensi Tiga
AlKris: Dimensi Tiga 2010

CARA MELUKIS JARAK DUA GARIS BERSILANGAN

Cara I (Gambar 2.3):

(1) Lukis garis b1 // B dan memotong garis a.
(2) Lukis bidang H melalui A dan b1.
(3) Proyeksikan garis B terhadap bidang H. Hasilnya adalah
garis b2, yang memotong garis A di titik A.
(4) Lukislah garis g yang melalui A ⊥ b, dan memotong garis
B di B.
(5) AB = panjang AB , merupakan jarak antara garis A dan B
yang bersilangan.

Cara II (Gambar 2.4):
Lukislah bidang H ⊥ b. Bidang H memotong garis B di P.
Proyeksikan garis A pada bidang H, hasilnya a1.
Lukislah garis melalui P ⊥ a1 dan memotong a1 di titik Q.
Melalui Q lukis garis k // B yang memotong garis A di
titik A.

(5) Melalui titik A lukis garis l ║ PQ dan memotong garis B di
titik B.
(6) Panjang AB sama dengan panjang PQ dan merupakan
jarak antara garis A dan B yang bersilangan.

Contoh 2.1

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm.
Lukis dan hitunglah jarak antara AE dan HB .
Jawab:

Cara I (Gambar 2.5):

(1) Akan dilukis garis sejajar AE memotong HB di B. Garis
tersebut telah tersedia yaitu BF .
(2) Lukis bidang melalui HB dan BF. Bidang tersebut adalah Q
bidang BDHF
(3) Proyeksikan garis AE pada bidang BDHF. Hasil proyeksinya
adalah garis KL yang memotong HB di P.
A
(4) Melalui titik P lukis PQ ⊥ AE .

(5) PQ =panjang ruas garis PQ merupakan jarak antara AE dan HB .

(6) Oleh karena PQ = AK dan AK =

1
PQ = 2 × 6 2 cm = 3 2 cm.

Cara II (Gambar 2.6)
Dilukis bidang yang tegaklurus AE : telah tersedia yaitu
Q
bidang ABCD.
Proyeksikan HB pada bidang ABCD, yaitu BD .
Lukis garis melalui A ⊥ BD , yaitu AC , memotong BD di
titik K.
Melalui K dibuat garis sejajar AE yaitu KL yang A
memotong HB di P.
Melalui P dibuat garis tegaklurus AE yaitu PQ .

PQ = panjang ruas garis PQ , merupakan jarak antara AE dan HB .

1
1
Panjangnya = AK = 2 AC = 2 × 6 2 cm = 3 2 cm.

AlKris: Dimensi Tiga 2010



E

1
2

AC, maka

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm.
Lukis dan hitunglah jarak antara EG dan FC .
Jawab: Digunakan Cara II (Gambar 2.7).
E
(1) Lukis bidang yang tegaklurus EG , yaitu bidang BDHF
yang memotong EG di K.
(2) Proyeksikan garis FC ke bidang BDHF, yaitu FL .
(3) Melalui K dibuat garis tegaklurus FL dan memotong
FL di titik M. (Dibuat KM ║ HB , karena HB ⊥ FL ).
(4) Melalui M dibuat garis sejajar EG , memotong FC di titik P.
(5) Melalui P dibuat garis sejajar KM , memotong EG di Q.
.
(6) Panjang ruas garis PQ merupakan jarak antara EG dan FCA

Jadi jarak antara garis EG dan FC adalah sepanjang ruas garis PQ = 2√3 cm.

Catatan:
Jika yang ditanyakan hanya jaraknya, maka jarak tersebut sama dengan jarak antara bidang
DEG dan ACF. Karena kedua bidang tegak lurus dan membagi tiga sama diagonal HB , maka
jarak kedua garis sama dengan jarak antara dua bidang sejajar tersebut = 1 × 6√3 cm = 2√3 cm
3

C. SUDUT

Sudut Antara Dua Garis

Sudut antara dua garis garis adalah sudut lancip atau siku-siku antara kedua garis
tersebut. Dengan demikian maka sudut antara dua garis bersilangan adalah sudut lancip atau
siku-siku yang terbentuk oleh kedua garis bersilangan (tidak sebidang)

Jika A dan B dua garis bersilangan, maka besar sudut antara kedua
V
garis sama de-ngan besar sudut antara a′ yang sebidang dengan B dan
a′
sejajar a, dengan b, atau sebaliknya: antara b′ yang sebidang dengan A
dan sejajar b, dengan a.
D α
B
Jika sudutnya 90°, dikatakan A menyilang tegak lurus b.
b
Pada Gambar 2.8, A dan B bersilangan. Besar sudut antara A dan
B = ∠EDF = α

1
1
PQ = KM; KM = 2 HN = 2 × 4√3 cm = 2√3 cm

Sudut Antara Garis dan Bidang

Garis A dikatakan tegak lurus bidang H, jika garis A
tegaklurus pada semua garis pada bidang H
g ⊥ a1, g ⊥ a2, g ⊥ a3, …dengan a1, a2, a3, … pada bidang H
⇒ g ⊥ H. (Gb. 2.9)
Karena dua garis berpotongan menentukan keberadaan
a4 a5
a2
sebuah bidang (melalui 2 garis berpotongan dapat dibuat
a2
tepat sebuah bidang), maka: jika garis g tegak lurus pada
a1
dua buah garis pada bidang H, maka garis g ⊥ H.
Besar sudut antara garis A dan bidang H, dengan A tidak tegak lurus
H, ditentukan oleh besar sudut antara garis A dan a′ yang merupakan
proyeksi garis A pada bidang H.

AlKris: Dimensi Tiga 2010

a

B

a′

α

A

(i)

α

B′

A

Gambar 2.10

Pada Gb. 2.10 (i), A dan B pada garis a. Proyeksi A pada H adalah A′, proyeksi B pada H

adalah B′, sehingga hasil proyeksi A pada H yaitu a′ adalah garis AB' . Sudut antara A dan H =
sudut antara A dan a′ yaitu α.
Jika pada bidang pemroyeksi dibuat garis k║a (Gb. 2.10 (ii)), maka k′ = a′. Untuk
menggambarkan besar sudut antara k dan a′, dalam hal ruang gambarnya tidak memungkinkan,
dapat diatasi dengan menggambar garis a′′║a′ pada bidang pe-mroyeksi sehingga besar sudut
antara k dan H dapat diwakili oleh α′, yaitu ∠(k, a′′).
C

3. Sudut Antara Dua Bidang (yang Berpotongan)

Misalkan bidang V dan W berpotongan pada garis AB (bidang V
W
= bidang ABCD, bidang W = bidang ABEF). Jika sebuah bidang K
memotong tegaklurus garis potong antara bidang V dan W, maka
T α
P
bidang K dinamakan bidang tumpuan antara bidang V dan W.
Karena bidang K ⊥ V dan K ⊥ W, maka bidang
K
K ⊥ (V, W), sehingga (V, W)) ⊥ (K, V) dan (V, W) ⊥ (K, W).
Sudut antara garis (K, V) dan (K, W) dinamakan sudut tumpuan
antara bidang V dan W. Besar sudut antara bidang V dan W
A
ditentukan oleh besar sudut tumpuan antara kedua kedua bidang.
Pada Gb. 2.11, sudut yang dimaksud adalah sudut PTQ.
Gambar 2.11
Jadi untuk menentukan besar sudut antara dua bidang V dan W
dapat dilakukan sebagai berikut:

H
(1) Tentukan (V, W) (dalam Gb. 2.11: AB )
S
(2) Pilih sembarang titik T pada (V, W)
F
E

(3) Pada bidang V tarik garis TQ ⊥ (V, W)

(4) Pada bidang W tarik garis TP ⊥ (V, W)
maka: besar ∠(V, W) = ∠PTQ

Jika besar ∠(V, W) = 90 , dikatakan V ⊥ W

Contoh

Pada kubus ABCD.EFGH (Gb. 2.12):

a. Sudut antara AH dan BF

= sudut antara AH dan DH (karena DH ║ BF ) = 45o
(karena ∆SDH siku-siku sama kaki).

b. Jika sudut antara bidang AFH dan CFH = α, berapakah cos α?

Jawab: (AFH, CFH) = FH .

AlKris: Dimensi Tiga 2010



o

A











∆AFH sama sisi dan S titik tengah FH . Jadi AS ⊥ FH ………(1)

∆CFH sama sisi dan S titik tengah FH . Jadi CS ⊥ FH ………(2)
Jadi sudut tumpuan antara bidang AFH dan CFH = ∠ASF, besarnya = α.
T
2
2
2
AS + CS − AS
Pada ∆ASF: cos α =
; misalkan AB = 2a, maka
2.AS.CS
AC = 2a√2, AS = CS = a√6









6 a 2 + 6 a 2 − 8a 2
2×a 6 ×a 6

=

4a 2

=

12a 2

1
= 3

Gambar. 2.13

1
Jadi cos ∠(AFH, CFH) = 3

A

1) T.ABCD adalah sebuah limas segi-4 beraturan (Gb. 2.13):

AB = 6 cm, tinggi limas = 6 cm. Tentukan sin ∠( TC , ABCD) dan tan ∠(TBC, ABCD)
Jawab:
M = proyeksi T pada bidang ABCD dan C = proyeksi T pada bidang ABCD

Jadi proyeksi TC pada bidang ABCD adalah MC sehingga ∠( TC , ABCD) = ∠ TCM;
1
1
MC = 2 AC = 2 × 6√2 cm = 3√2 cm.

TC =

sin ∠TCM =

1
Jadi sin ∠( TC , ABCD) = 3 √6





(TBC, ABCD) = BC ; Q pada BC , QT pada bidang TBC tegak lurus BC



Q pada BC , QP pada bidang ABCD tegak lurus BC

Sudut tumpuan antara bidang TBC dan ABCD adalah ∠PTC, tan ∠PTC =

Jadi tan ∠(TBC, ABCD) = 2.

Latihan 1
EFGH
Untuk no. 1-6, gunakan gambar kubus
pada Gambar 12 dengan panjang rusuk 6 cm.
ABCD
1. Berapakah jarak antara (1) A dan C, (2) D dan G?

Berapakah jarak (terpendek) antara E dan C jika ditempuh melewati bi dang sisi kubus?

Berapakah jarak antara (1) B dan FC (2) D dan EG ?

Berapakah jarak dan besar sudut antara (1) HG dan bidang ABFE, (2) FG dan BCHE?

Berapakah jarak antara bidang ABFE dan bidang DCHG, (2) bidang AFH dan bidang BDG?

Berapakah jarak antara (1) AB dan FG , (2) AE dan BD , dan (3) GH dan FC ?

Berapakah kosinus sudut antara:

a. (i) FC dan DG

b. (i) AH dan EFGH
c. (i) BDG dan ABCD



2

2

TM + MC

TM
6
1
=
= 3 √6
TC
3 6



( )2 =

= 62 + 3 2

36 + 18 = 54 = 3√6 (cm)

(ii) AH dan QG

(ii) EG dan BDG
(ii) BEG dan EFGH

(iii) DH dan QG

(iii) CS dan AFH
(iii) AFH dan BDE

AlKris: Dimensi Tiga 2010

8. Kubus ABCD.EFGH panjang rusuknya a√2 cm. Tentukanlah jarak titik H ke bidang DEG!

9. Dua buah garis l dan m bersilangan tegak lurus. Jarak antara kedua garis itu adalah AB
dengan A pada l dan B pada m. Pada garis l dan m berturut-turut terletak titik-titik C dan D,
sehingga AC = 6 cm dan BD = 8 cm. Jika AB = 10 cm, hitunglah panjang CD .

10. D.ABC adalah sebuah bidang empat beraturan, panjang rusuknya 6 cm.
a. Hitung jarak antara:
i.
setiap titik sudut ke bidang sisi di hadapannya
ii.
setiap dua rusuknya yang bersilangan

b. Hitunglah kosinus sudut antara: i. dua bidang sisinya
ii sebuah rusuk dengan sisi yang ditembusnya
iii garis tinggi dan rusuk yang dipotongnya.

11. Berapakah jarak antara (1) AB dan FG , (2) AE dan BD , dan (3) GH dan FC ?

12. Gambarlah kubus ABCD.EFGH. K adalah titik potong diagonal AC dan BD . Lukislah sebuah

ruas garis yang menyatakan jarak antara garis BG dan EC , kemudian hitung jarak tersebut
jika panjang rusuk kubus 6 cm.

13. T.ABCD adalah sebuah limas beraturan. AB = 6 cm, TA = 3√5 cm.

Gambarlah sebuah ruas garis yang menyatakan jarak antara titik B ke bidang TAD dan
hitunglah jarak tersebut .

14. ABCD adalah sebuah trapesium siku-siku di A, merupakan alas sebuah limas T.ABCD dengan
TA ⊥ ABCD. Panjang rusuk AD = 30 cm, AB = 20 cm, dan BC = 15 cm. Hitunglah: jarak antara
(i) CD dan TA, (ii) A dan bidang TCD, (iii) B dan bidang TCD, dan sinus sudut antara bidang
TCD dan ABCD

AlKris: Dimensi Tiga 2010