Dimensi Tiga

GEOMETRI DALAM RUANG DIMENSI TIGA

(Al. Krismanto, M.Sc.)

I. KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG

A. TITIK, GARIS DAN BIDANG

Titik merupakan unsur ruang yang paling sederhana, tidak didefinisikan, tetapi setiap
pembaca diharapkan dapat memahaminya. Yang dimaksud garis dalam bahasan ini adalah garis
lurus dan yang dimaksud dengan bidang adalah bidang datar. Keduanya berukuran tak terbatas.
Untuk garis tak terbatas panjangnya, sedangkan untuk bidang tak terbatas luasnya. Garis
digambar digunakan sebatas yang diperlukan, khusus pada tulisan ini tidak berujung anak panah.
Untuk menggambar sebuah bidang biasanya digunakan sebuah persegi panjang berukuran sesuai
keperluan. Namun karena kedudukannya umumnya tidak frontal (tidak sejajar atau tidak pada
bidang gambar), maka sebuah bidang datar biasa diwakili oleh sebuah jajar genjang. Untuk
menunjukkan sebuah titik tertentu, kadang-kadang digunakan sebuah noktah. Pada bangun datar
atau bangun ruang tertentu, misalnya pada sebuah kubus, meskipun bangun ruang tersebut
mempunyai 8 titik sudut sebagai titik potong tiga bidang, atau tiga rusuk, titiknya tidak biasa
diberi noktah.

B. KEDUDUKAN TITIK TERHADAP GARIS DAN BIDANG

Jika diketahui sebuah titik T dan sebuah garis g, mungkin:

•
T

g

g

•
T

a

Titik T terletak pada garis g, atau

garis g melalui titik T (Gb. 1.1 (i))

b

Titik T berada di luar g, atau

garis g tidak melalui titik T. (Gb. 1.1 (ii))

Gambar 1.1

Jika T pada g dan P pada g, maka dapat dinyatakan bahwa garis g melalui T dan P
Aksioma 1: Melalui dua buah titik dapat dibuat tepat satu garis.

2. Jika diketahui sebuah titik T dan sebuah bidang H, mungkin:

•T

H

•T

Titik T terletak pada bidang H, atau
bidang H melalui titik T (Gb. 1.2 (i)).

a

Untuk menunjukkannya dibantu dengan menggambar
sebuah garis pada bidang H (lihat C)

H

b

Titik T tidak terletak pada bidang H,

atau bidang H tidak melalui titik T(Gb. 1.2 (i)).

Gambar 1.2

C. KEDUDUKAN GARIS TERHADAP BIDANG DAN GARIS

Jika diketahui sebuah garis g dan sebuah bidang H, mungkin:
a Garis g terletak pada bidang H, atau bidang H melalui garis g
g
Sebuah garis g dikatakan terletak pada bidang H jika setiap
H
titik pada garis g terletak pada bidang H.
Gambar 1.3 (i) Untuk menunjukkannya, ujung ruas garis wakil g harus terletak
pada sisi jajar genjang wakil bidang H.
Jika ada titik T di luar g juga terletak pada bidang H, maka dapat dinyatakan pula bahwa
bidang H melalui sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu.

AlKris: Dimensi Tiga 2010

Aksioma 2: Melalui sebuah garis dan sebuah titik di luar garis tersebut dapat dibuat
tepat sebuah bidang datar.
Karena garis g tertentu jika dua ada dua titik tertentu (misal A dan b) yang dilaluinya, maka:

Aksioma 3: Melalui tiga buah titik tak segaris dapat dibuat tepat sebuah bidang datar.

g

•T

H

Gambar 1.3 (ii)

g

h

Gambar 1.3 (iii)

b

Garis g memotong bidang H, atau
garis g dan H berpotongan.
Garis g dikatakan memotong bidang H jika garis g dan
bidang H mempu-nyai hanya sebuah titik persekutuan.
Titik itu disebut titik potong atau titik tembus garis g
terhadap bidang H. Pada Gb. 1.3 (ii), T adalah titik
tembus g terhadap H.

c

Garis g sejajar bidang H (g // H), atau
bidang H sejajar garis g.
Sebuah garis g dikatakan sejajar bidang H jika garis g dan
bidang H tidak mempunyai titik persekutuan.
Untuk menunjukkannya dapat dilakukan dengan
menggambar sebuah garis pada H (misal h) sejajar garis
g. Lihat Gb. 1.3 (iii).

Jika diketahui sebuah garis g dan sebuah garis H, mungkin:

Garis g dan garis H terletak pada sebuah bidang (misal H). Jika demikian maka yang

dapat terjadi adalah:

H

Aksioma 4: Melalui dua garis berpotongan dapat dibuat tepat sebuah bidang datar.

g

h

•

a. g dan H berimpit. Dikatakan g = H.

b. g dan H berpotongan (pada sebuah titik). (Gb. 1.4 (i))

g

H

h

c. g ║h, yaitu jika keduanya tidak mempunyai titik

persekutuan. (Gb. 1.4 (ii))

Aksioma 4: Melalui dua garis sejajar dapat dibuat tepat sebuah bidang datar.

g

•T

h

H

d. garis g dan garis H tidak sebidang. Dikatakan bahwa garis g
dan H bersilangan (silang menyilang). Jadi keduanya tidak
sejajar dan juga tidak mempunyai titik persekutuan.

Gambar 1.4

D. HUBUNGAN ANTARA BIDANG-BIDANG

Dua bidang berimpit (semua titik pada bidang yang satu terletak pada bidang kedua, dan
sebaliknya) dipandang sebagai sebuah bidang saja.

(i)
Hubungan antara Dua Bidang
Jika diketahui bidang H dan V, maka mungkin:

Bidang H dan V sejajar
Keduanya sama sekali tidak mempunyai titik
persekutuan. (Gb. 1.5 (i))

Bidang H dan V berpotongan pada sebuah garis. Garis potong ini biasa dilambangkan
dengan (H, V). (Gb. 1.5 (ii))

V

H

AlKris: Dimensi Tiga 2010

Hubungan antara Tiga Bidang (α, β, γ)

γ

(α, β) = (α, γ) = (β, γ)

α

(iV)

(iii)

β

γ

(α, γ)

(α, β)

γ

α

(α,γ

(ii) α

(β,γ)

β

Gambar 1.6

Ketiganya sejajar: → Bidang α║β║γ (Gb. 1.6 (i))
Dua bidang sejajar, dipotong bidang ketiga: Bidang α║β dan γ ╫ α, γ ╫β ⇒(α, γ)║(β, γ)
(Gb. 1.6 (ii))
Ketiga bidang berpotongan pada satu garis. ⇒ (α, β), (α, γ), dan (β, γ) berimpit. (Gb.
1.6 (iii))
Ketiga bidang berpotongan pada tiga garis potong yang sejajar. (α, β)║(α, γ) ║(β, γ)
(Gb. 1.6 (iV))
Ketiga bidang berpotongan pada sebuah titik ⇒ ketiga garis potong (α, β), (α, γ), dan
(β, γ) melalui sebuah titik. (Gb. 1.6 (V))

E. MENENTUKAN TITIK POTONG GARIS DAN BIDANG DAN GARIS POTONG ANTARA BIDANG-

BIDANG

β

C
g B
T
h

A

Garis g dan H berpotongan di titik T. Garis H menembus α
di A dan β di B. Garis g memebus β di C. Tentukan titik
(α, β)
tembus g terhadap α.

Gambar 1.7

Jawab: Garis g dan H berpotongan. Jadi dapat dibuat sebuah bidang misal γ melalui g dan H.

C
g B
T
h

A

(α, β)

K

C dan B pada bidang γ ⎫
⎬CB = (β , γ )
C dan B pada bidang β ⎭

(β, γ) memotong (α, β) di titik K. Maka garis potong ketiga
yaitu (α, γ) juga melalui K (*).

Karena A pada H, maka pada γ. Titik A titik tembus H
terhadap bidang α, maka A pada α. Jadi A pada (α, γ). (**)

β

C
g B
T
h

A

(α, β)

K

C
g B
T
h

D

A

(α, β)

K

α

AlKris: Dimensi Tiga 2010

Menggunakan Dasar Hubungan Tiga Bidang

Contoh

Diketahui kubus ABCD.EFGH (Gb 1.8 ). Titik P, Q, dan R
berturut-turut terletak pada rusuk CG , DH dan AE . Bidang
α melalui P, Q, dan R. Gambarlah garis-garis potong:\
a. (α, ADHE)
b. (α, BCGF)

Jawab:
a.
Q pada α dan Q pada ADHE ⇒ Q pada (α, ADHE) ... (1)
R pada α dan R pada ADHE ⇒ R pada (α, ADHE) ... (2)
Dari (1) dan (2) maka QR = (α, ADHE)
a.
P pada α dan P pada BCGF ⇒ (α, BCGF) melalui titik P
... (3)
Bidang BCGF║ ADHE dipotong bidang α, maka (α, BCGF)
║ (α, ADHE) = QR ... (4)
Dari (3) dan (4) maka (α, BCGF) melalui P sejajar
QR (Gb 1.9 (i)), yaitu garis PS

Titik P adalah titik tengah rusuk TB pada limas beraturan T.ABCD. Bidang α melalui P
sejajar BD dan TA . Carilah garis-garis potong bidang α dengan sisi-sisi limas.
Jawab: α.
T

P

Bidang α melalui P//TA⎫
⎬ (α, TAB) ║ TA
P pada bidang TAB ⎭

Untuk membuat (α, TAB) dibuat PQ pada bidang TAB ║ TA

(Q pada AB ) Gb 1.10a.

⎫
⎪ (α , ABCD )
⎪
BD pada bidang ABCD⎬
melalui Q// BD
Q pada α dan ABCD ⎪
⎪
⎭

Bidang α // BD

C

N

Gb 1.10. a

Q
T

B

S

P

Garis tersebut memotong AD di R dan AC di N. (Gb 1.10. b)

Berdasar sifat kesejajarannya terhadap TA , maka:(i) pada

TAD dibuat garis melalui R sejajar TA .

TA

melalui N sejajar TA memotong TC di M.

C

Irisan adalah segi lima PQRSM (Gb 1.10. c)

memotong TD di S, (ii) pada TAC dibuat garis

N

Gb 1.10. b

Q

B

Dengan demikian maka prosedur menggambarnya sebagai

AlKris: Dimensi Tiga 2010

↔

Pada bidang TAB ditarik garis PQ ║ TA ( Q pada AB)

Pada bidang ABCD ditarik QR ║ BD (R pada AD )

memotong AC di N.

Pada bidang TAD ditarik garis RS ║ TA (S pada TD )
Pada bidang TAC ditarik garis melalui N ║ TA
memotong TC di M.
Garis-garis potongnya adalah PQ, QR, RS, SM, dan MP

Segilima PQRSM disebut irisan bidang α terhadap limas T.ABCD.

Latihan 1

Salin dan tentukan titik tembus garis H terhadap bidang α.

↔

↔

A

h

C

A

h

β

A

?

B

C

?

B

α

Gambarlah garis-garis potong antara bidang ACF dan BDE
dengan bidang α dan β, dan juga antara bidang ACF dan BDE.

Limas-limas di bawah ini terletak pada bidang α. Tentukan
titik tembus garis AB terhadap bidang α.

T

A pada TPQ

A

B

B

P

R

Q

Pada kubus ABCD.EFGH, titik-titik P, Q, R dan S berturut-turut terletak pada bidang CDHG,
ADHE, BCGF, dan ABFE. Kubus tersebut diletakkan pada bidang α. Tentukanlah titik tembus

garis-garis PQ PR , PS , QR , dan QS terhadap bidang α (lihat gambar di bawah No. 5)

Pada limas T.ABCD, titik-titik P, Q, R dan S berturut-turut terletak rusuk TD , bidang TBC,
bidang TAB, dan rusuk TB . Alas limas pada pada bidang α. Tentukanlah titik tembus garis-

garis PQ PR , PS , QR , dan QS terhadap bidang α.

AlKris: Dimensi Tiga 2010

↔ ↔

↔

↔

↔

↔ ↔

↔

↔

↔

T

•P

•Q

E

Q

•R

D

•S

B

C

A

AlKris: Dimensi Tiga 2010

II. JARAK DAN SUDUT

A. JARAK

Definisi: Jarak antara dua buah bangun adalah panjang ruas garis penghubung terpendek
yang menghubungkan dua titik pada bangun-bangun tersebut.

A

B

G1

G2

Gambar 2.1

Jika G1 dan G2 adalah bangun-bangun geometri, maka G1
dan G2 dapat dipikirkan sebagai himpunan titik-titik,
sehingga dapat dilakukan pemasangan antara titik-titik
pada G1 dan G2.
Jika ruas garis AB adalah yang terpendek antara
semua ruas garis penghubung titik-titik itu, maka panjang
ruas garis AB disebut jarak antara bangun G1 dan G2.
Akibat dari pengertian yang demikian maka:

Jarak antara titik P dan Q adalah panjang ruas garis PQ . (Gb. 2.2 (i))

Jarak antara titik P dan garis g adalah panjang ruas garis penghubung P dengan proyeksi P
pada garis g. Pada Gb. 2.2 (ii), jarak antara titik P dan garis g = PP .
1

Jarak antara titik P pada bidang K adalah panjang ruas garis penghubung P dengan proyeksi
titik P pada bidang K. Pada Gb. 2.2 (iii), jarak antara titik P dan bidang K = PP .
1

Jarak antara garis g dan bidang K yang sejajar adalah sama dengan jarak salah satu titik
pada garis g terhadap bidang K. Pada Gb. 2.2 (iV), jarak antara g dan K dengan g ║ K adalah
PP .
1

Jarak antara bidang K dan L yang sejajar adalah sama dengan jarak salah satu titik pada
bidang K terhadap bidang L, atau sebaliknya.

Jarak antara garis g dan H yang bersilangan adalah panjang ruas garis hubung yang letaknya

tegaklurus pada g dan H (perhatikanlah cara menggambarkannya).$

P

P

Q

P2 P3 P1
(ii)

(i)

Q

K

g

P4

R

P1

(iii)

K g

B

A

C

h

g

g

B1

A1

C1

(V)

(Vi)

Gambar 2.2

AlKris: Dimensi Tiga
AlKris: Dimensi Tiga 2010

CARA MELUKIS JARAK DUA GARIS BERSILANGAN

Cara I (Gambar 2.3):

(1) Lukis garis b1 // B dan memotong garis a.
(2) Lukis bidang H melalui A dan b1.
(3) Proyeksikan garis B terhadap bidang H. Hasilnya adalah
garis b2, yang memotong garis A di titik A.
(4) Lukislah garis g yang melalui A ⊥ b, dan memotong garis
B di B.
(5) AB = panjang AB , merupakan jarak antara garis A dan B
yang bersilangan.

Cara II (Gambar 2.4):
Lukislah bidang H ⊥ b. Bidang H memotong garis B di P.
Proyeksikan garis A pada bidang H, hasilnya a1.
Lukislah garis melalui P ⊥ a1 dan memotong a1 di titik Q.
Melalui Q lukis garis k // B yang memotong garis A di
titik A.

(5) Melalui titik A lukis garis l ║ PQ dan memotong garis B di
titik B.
(6) Panjang AB sama dengan panjang PQ dan merupakan
jarak antara garis A dan B yang bersilangan.

Contoh 2.1

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm.
Lukis dan hitunglah jarak antara AE dan HB .
Jawab:

Cara I (Gambar 2.5):

(1) Akan dilukis garis sejajar AE memotong HB di B. Garis
tersebut telah tersedia yaitu BF .
(2) Lukis bidang melalui HB dan BF. Bidang tersebut adalah Q
bidang BDHF
(3) Proyeksikan garis AE pada bidang BDHF. Hasil proyeksinya
adalah garis KL yang memotong HB di P.
A
(4) Melalui titik P lukis PQ ⊥ AE .

(5) PQ =panjang ruas garis PQ merupakan jarak antara AE dan HB .

(6) Oleh karena PQ = AK dan AK =

1
PQ = 2 × 6 2 cm = 3 2 cm.

Cara II (Gambar 2.6)
Dilukis bidang yang tegaklurus AE : telah tersedia yaitu
Q
bidang ABCD.
Proyeksikan HB pada bidang ABCD, yaitu BD .
Lukis garis melalui A ⊥ BD , yaitu AC , memotong BD di
titik K.
Melalui K dibuat garis sejajar AE yaitu KL yang A
memotong HB di P.
Melalui P dibuat garis tegaklurus AE yaitu PQ .

PQ = panjang ruas garis PQ , merupakan jarak antara AE dan HB .

1
1
Panjangnya = AK = 2 AC = 2 × 6 2 cm = 3 2 cm.

AlKris: Dimensi Tiga 2010

↔

E

1
2

AC, maka

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm.
Lukis dan hitunglah jarak antara EG dan FC .
Jawab: Digunakan Cara II (Gambar 2.7).
E
(1) Lukis bidang yang tegaklurus EG , yaitu bidang BDHF
yang memotong EG di K.
(2) Proyeksikan garis FC ke bidang BDHF, yaitu FL .
(3) Melalui K dibuat garis tegaklurus FL dan memotong
FL di titik M. (Dibuat KM ║ HB , karena HB ⊥ FL ).
(4) Melalui M dibuat garis sejajar EG , memotong FC di titik P.
(5) Melalui P dibuat garis sejajar KM , memotong EG di Q.
.
(6) Panjang ruas garis PQ merupakan jarak antara EG dan FCA

Jadi jarak antara garis EG dan FC adalah sepanjang ruas garis PQ = 2√3 cm.

Catatan:
Jika yang ditanyakan hanya jaraknya, maka jarak tersebut sama dengan jarak antara bidang
DEG dan ACF. Karena kedua bidang tegak lurus dan membagi tiga sama diagonal HB , maka
jarak kedua garis sama dengan jarak antara dua bidang sejajar tersebut = 1 × 6√3 cm = 2√3 cm
3

C. SUDUT

Sudut Antara Dua Garis

Sudut antara dua garis garis adalah sudut lancip atau siku-siku antara kedua garis
tersebut. Dengan demikian maka sudut antara dua garis bersilangan adalah sudut lancip atau
siku-siku yang terbentuk oleh kedua garis bersilangan (tidak sebidang)

Jika A dan B dua garis bersilangan, maka besar sudut antara kedua
V
garis sama de-ngan besar sudut antara a′ yang sebidang dengan B dan
a′
sejajar a, dengan b, atau sebaliknya: antara b′ yang sebidang dengan A
dan sejajar b, dengan a.
D α
B
Jika sudutnya 90°, dikatakan A menyilang tegak lurus b.
b
Pada Gambar 2.8, A dan B bersilangan. Besar sudut antara A dan
B = ∠EDF = α

1
1
PQ = KM; KM = 2 HN = 2 × 4√3 cm = 2√3 cm

Sudut Antara Garis dan Bidang

Garis A dikatakan tegak lurus bidang H, jika garis A
tegaklurus pada semua garis pada bidang H
g ⊥ a1, g ⊥ a2, g ⊥ a3, …dengan a1, a2, a3, … pada bidang H
⇒ g ⊥ H. (Gb. 2.9)
Karena dua garis berpotongan menentukan keberadaan
a4 a5
a2
sebuah bidang (melalui 2 garis berpotongan dapat dibuat
a2
tepat sebuah bidang), maka: jika garis g tegak lurus pada
a1
dua buah garis pada bidang H, maka garis g ⊥ H.
Besar sudut antara garis A dan bidang H, dengan A tidak tegak lurus
H, ditentukan oleh besar sudut antara garis A dan a′ yang merupakan
proyeksi garis A pada bidang H.

AlKris: Dimensi Tiga 2010

a

B

a′

α

A

(i)

α

B′

A

Gambar 2.10

Pada Gb. 2.10 (i), A dan B pada garis a. Proyeksi A pada H adalah A′, proyeksi B pada H

adalah B′, sehingga hasil proyeksi A pada H yaitu a′ adalah garis AB' . Sudut antara A dan H =
sudut antara A dan a′ yaitu α.
Jika pada bidang pemroyeksi dibuat garis k║a (Gb. 2.10 (ii)), maka k′ = a′. Untuk
menggambarkan besar sudut antara k dan a′, dalam hal ruang gambarnya tidak memungkinkan,
dapat diatasi dengan menggambar garis a′′║a′ pada bidang pe-mroyeksi sehingga besar sudut
antara k dan H dapat diwakili oleh α′, yaitu ∠(k, a′′).
C

3. Sudut Antara Dua Bidang (yang Berpotongan)

Misalkan bidang V dan W berpotongan pada garis AB (bidang V
W
= bidang ABCD, bidang W = bidang ABEF). Jika sebuah bidang K
memotong tegaklurus garis potong antara bidang V dan W, maka
T α
P
bidang K dinamakan bidang tumpuan antara bidang V dan W.
Karena bidang K ⊥ V dan K ⊥ W, maka bidang
K
K ⊥ (V, W), sehingga (V, W)) ⊥ (K, V) dan (V, W) ⊥ (K, W).
Sudut antara garis (K, V) dan (K, W) dinamakan sudut tumpuan
antara bidang V dan W. Besar sudut antara bidang V dan W
A
ditentukan oleh besar sudut tumpuan antara kedua kedua bidang.
Pada Gb. 2.11, sudut yang dimaksud adalah sudut PTQ.
Gambar 2.11
Jadi untuk menentukan besar sudut antara dua bidang V dan W
dapat dilakukan sebagai berikut:
↔
H
(1) Tentukan (V, W) (dalam Gb. 2.11: AB )
S
(2) Pilih sembarang titik T pada (V, W)
F
E
↔
(3) Pada bidang V tarik garis TQ ⊥ (V, W)

(4) Pada bidang W tarik garis TP ⊥ (V, W)
maka: besar ∠(V, W) = ∠PTQ

Jika besar ∠(V, W) = 90 , dikatakan V ⊥ W

Contoh

Pada kubus ABCD.EFGH (Gb. 2.12):

a. Sudut antara AH dan BF

= sudut antara AH dan DH (karena DH ║ BF ) = 45o
(karena ∆SDH siku-siku sama kaki).

b. Jika sudut antara bidang AFH dan CFH = α, berapakah cos α?

Jawab: (AFH, CFH) = FH .

AlKris: Dimensi Tiga 2010

↔

o

A

↔

↔

↔

↔

↔

∆AFH sama sisi dan S titik tengah FH . Jadi AS ⊥ FH ………(1)

∆CFH sama sisi dan S titik tengah FH . Jadi CS ⊥ FH ………(2)
Jadi sudut tumpuan antara bidang AFH dan CFH = ∠ASF, besarnya = α.
T
2
2
2
AS + CS − AS
Pada ∆ASF: cos α =
; misalkan AB = 2a, maka
2.AS.CS
AC = 2a√2, AS = CS = a√6

↔

↔

↔

↔

6 a 2 + 6 a 2 − 8a 2
2×a 6 ×a 6

=

4a 2

=

12a 2

1
= 3

Gambar. 2.13

1
Jadi cos ∠(AFH, CFH) = 3

A

1) T.ABCD adalah sebuah limas segi-4 beraturan (Gb. 2.13):

AB = 6 cm, tinggi limas = 6 cm. Tentukan sin ∠( TC , ABCD) dan tan ∠(TBC, ABCD)
Jawab:
M = proyeksi T pada bidang ABCD dan C = proyeksi T pada bidang ABCD

Jadi proyeksi TC pada bidang ABCD adalah MC sehingga ∠( TC , ABCD) = ∠ TCM;
1
1
MC = 2 AC = 2 × 6√2 cm = 3√2 cm.

TC =

sin ∠TCM =

1
Jadi sin ∠( TC , ABCD) = 3 √6

↔
↔
↔
↔
(TBC, ABCD) = BC ; Q pada BC , QT pada bidang TBC tegak lurus BC
↔
↔
↔
Q pada BC , QP pada bidang ABCD tegak lurus BC

Sudut tumpuan antara bidang TBC dan ABCD adalah ∠PTC, tan ∠PTC =

Jadi tan ∠(TBC, ABCD) = 2.

Latihan 1
EFGH
Untuk no. 1-6, gunakan gambar kubus
pada Gambar 12 dengan panjang rusuk 6 cm.
ABCD
1. Berapakah jarak antara (1) A dan C, (2) D dan G?

Berapakah jarak (terpendek) antara E dan C jika ditempuh melewati bi dang sisi kubus?

Berapakah jarak antara (1) B dan FC (2) D dan EG ?

Berapakah jarak dan besar sudut antara (1) HG dan bidang ABFE, (2) FG dan BCHE?

Berapakah jarak antara bidang ABFE dan bidang DCHG, (2) bidang AFH dan bidang BDG?

Berapakah jarak antara (1) AB dan FG , (2) AE dan BD , dan (3) GH dan FC ?

Berapakah kosinus sudut antara:

a. (i) FC dan DG

b. (i) AH dan EFGH
c. (i) BDG dan ABCD

↔

2

2

TM + MC

TM
6
1
=
= 3 √6
TC
3 6

↔

( )2 =

= 62 + 3 2

36 + 18 = 54 = 3√6 (cm)

(ii) AH dan QG

(ii) EG dan BDG
(ii) BEG dan EFGH

(iii) DH dan QG

(iii) CS dan AFH
(iii) AFH dan BDE

AlKris: Dimensi Tiga 2010

8. Kubus ABCD.EFGH panjang rusuknya a√2 cm. Tentukanlah jarak titik H ke bidang DEG!

9. Dua buah garis l dan m bersilangan tegak lurus. Jarak antara kedua garis itu adalah AB
dengan A pada l dan B pada m. Pada garis l dan m berturut-turut terletak titik-titik C dan D,
sehingga AC = 6 cm dan BD = 8 cm. Jika AB = 10 cm, hitunglah panjang CD .

10. D.ABC adalah sebuah bidang empat beraturan, panjang rusuknya 6 cm.
a. Hitung jarak antara:
i.
setiap titik sudut ke bidang sisi di hadapannya
ii.
setiap dua rusuknya yang bersilangan

b. Hitunglah kosinus sudut antara: i. dua bidang sisinya
ii sebuah rusuk dengan sisi yang ditembusnya
iii garis tinggi dan rusuk yang dipotongnya.

11. Berapakah jarak antara (1) AB dan FG , (2) AE dan BD , dan (3) GH dan FC ?

12. Gambarlah kubus ABCD.EFGH. K adalah titik potong diagonal AC dan BD . Lukislah sebuah

ruas garis yang menyatakan jarak antara garis BG dan EC , kemudian hitung jarak tersebut
jika panjang rusuk kubus 6 cm.

13. T.ABCD adalah sebuah limas beraturan. AB = 6 cm, TA = 3√5 cm.

Gambarlah sebuah ruas garis yang menyatakan jarak antara titik B ke bidang TAD dan
hitunglah jarak tersebut .

14. ABCD adalah sebuah trapesium siku-siku di A, merupakan alas sebuah limas T.ABCD dengan
TA ⊥ ABCD. Panjang rusuk AD = 30 cm, AB = 20 cm, dan BC = 15 cm. Hitunglah: jarak antara
(i) CD dan TA, (ii) A dan bidang TCD, (iii) B dan bidang TCD, dan sinus sudut antara bidang
TCD dan ABCD

AlKris: Dimensi Tiga 2010